[物理幫助人] 懸吊系統中，力的分量計算 (向量投影)

5月 02, 2017

2017-05-01勞動節放假，爽! ^_^

沒想到今天下午收到這張圖。有看沒有懂，就去問了圖的主人。

他說: "我公司裡面有一個要吊東西的機械啦。兩邊垂直吊掛各可以吊6噸，如果現在這兩邊之間有一個角度，那還可以掛幾噸啊? 我大概要看30, 45, 60這幾個角度啦。你跟我講怎麼算..."

我們繼續聊下去，問了一些關鍵問題，釐清狀況。

後來才知道，圖中的圓圈表示吊東西的機械，兩條直線表示兩條鐵鍊。

接下來才是重頭戲，如何去思考這個問題?

物理思考

聊天聊到一半，獻慶腦中就跑了張圖出來，類似下面這張。

向量投影示意圖。 Figure from Wikimedia Commons.

這張圖表示一個向量可以投影在不同的方向上。以這張圖來說，向量a投影在a₁及a₂向量所在的軸上，a₁及a₂為其投影向量。如果在笛卡兒坐標系(Cartesian coordinate system或稱直角坐標系)中，向量a可投影在x, y, 或z軸上。[詳細內容可看，向量投影 (Vector projection)。]

這個我們在國中時學的物理，跟現在這個問題有什麼關係呢?

以這個懸吊系統而言，如果不考慮機械的結構強度，那麼不論張角大小如何，每根鍊條可懸吊的重量還是保持6噸，鍊條上就是承受6噸的張力，也就是張力不變的設定。(這算是一個理想狀況的設定，稍後再討論。)

既然不論張角大小，鍊條上可承受的重量(張力)都不變(6噸)。那張角的大小對這個系統的影響到底在哪裡?

簡單地說，承受6噸的張力的鍊條所連結的機械結構，將會承受大小不同的"張力的水平分量"及"張力的垂直分量"。

比較通俗的說法(較不科學的講法)為，儘管懸吊重量不變，機械結構將因為張角的不同，承受不同的水平分量及垂直分量。

下圖中，計算了張角(2θ)於0, 30, 45, 60, 90, 及180度時的懸吊重量(F)的水平分量(Fsinθ)及垂直分量(Fcosθ)。張角2θ為0度時，表示垂直懸掛。張角2θ為180度時，表示鍊條已經被誇張地拉到呈水平線了。

計算各種張角的懸吊張力的水平分量及垂直分量

我們可以發現，當懸掛重量不變時(6頓)，張力的水平分量對張角的變化(2θ由0變成180度)，由0噸慢慢變大為6噸。

當懸掛重量不變時(6頓)，張力的垂直分量對張角的變化(2θ由0變成180度)，由6噸慢慢變大為0噸。

也就是說，當懸掛重量不變時，張角變大會造成張力的垂直分量變小、水平分量變大。懸吊系統在垂直方向所需要出的力變小了，負擔變小了，聽起來好像蠻爽的，但是要注意，代價是付出在水平分量上。如果這個懸吊系統沒辦法承受過大的水平分量，那很可能會故障，甚至造成工安危害。

舉例說明。一般的懸吊系統，都是設計在垂直懸吊的狀態下，有最大的懸掛重量。對於水平方向力量的承受度，通常不是設計重點。如果，這個懸吊系統只能承受水平方向6噸的拉扯強度。一但張角超過60度，兩條鍊條所產生的橫向力道就會超過6噸(左邊大於3噸、右邊大於3噸)，造成懸吊系統的破壞。

沒考慮的點

這是相當簡單的模型。其中鐵鍊的重量沒有考慮進去(也就是設定為無重量)。或者說，就算考慮進去意義也不大，畢竟數十公斤的鍊條對6噸的懸掛重量。誤差不大。

補充討論

隔天傳來懸吊系統的實際照片還有尺度及重量的示意圖。

懸吊系統。(a)左圖，未負重。(b)中圖，有負重(有吊模具)。(c)右圖，尺度及重量示意圖。

左圖中，兩根鍊條未負重，鍊條與地面垂直，張角為0度。

中圖，兩根鍊條下面吊有模具，呈現有負重的狀態，並且張角大於0度。

右圖則是表明，鍊條長度大概在1.3米左右，整個系統總重量大約為21公斤。(跟負重比起來，算是誤差內了)

一般而言，這種環狀結構的吊環，由於造型簡單，正下方是個半圓形，而且沒有類似卡榫般或其他的特殊結構。能充分承受張角的變化。

剩下要多加注意的地方，反而是模具能不能承受大張角所帶來的水平力量的問題。

舉例說明。當張角為60度時，單根鍊條承受6噸的張力時，兩條鍊條在模具上所產生的橫向力道就有6噸(左邊有一個向右方3噸的力、右邊有一個像左方3噸的力)。

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